芝諾的悖論是怎么回事呢他的邏輯錯(cuò)在哪里

以史為鑒 2023-06-25 11:29:06

芝諾的悖論是怎么回事呢他的邏輯錯(cuò)在哪里

我們?cè)谄綍r(shí)閱讀或聊天中偶爾會(huì)碰到一個(gè)詞——“悖論”

。那到底什么是悖論呢?悖論是怎么發(fā)生的呢?我們應(yīng)該怎么破破解遇到的悖論呢?

百度百科對(duì)“悖論”給出的定義是：悖論指的是表面上同一命題或推理中隱含著兩個(gè)對(duì)立的結(jié)論

，而這兩個(gè)結(jié)論都能自圓其說(shuō)

。悖論的抽象公式就是：如果事件A發(fā)生

，則推導(dǎo)出非A

，非A發(fā)生則推導(dǎo)出A。

簡(jiǎn)單說(shuō)就是一句自相矛盾的話

，或一段自相矛盾的論證

。

這樣僅給出定義好像還是很難直觀地理解悖論，那我們今天就以歷史上最著名的悖論——芝諾悖論為例

，好好體會(huì)一下悖論到底“?div id="4qifd00" class="flower right">

！痹谀睦铩?/p>

先簡(jiǎn)單介紹一下芝諾吧

，芝諾生活于公元前5世紀(jì)

，是著名的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，他的家鄉(xiāng)在意大利半島一個(gè)叫埃利亞的地方

，古希臘哲學(xué)中有一個(gè)很著名的哲學(xué)學(xué)派就叫埃利亞學(xué)派

。芝諾和他的老師巴門尼德都屬于其中的代表人物，他們的觀點(diǎn)粗暴點(diǎn)兒理解就是唯心主義

，他們認(rèn)為世界是一個(gè)不可分割的

、沒(méi)有空隙的整體，既然如此

，世界萬(wàn)物就不能運(yùn)動(dòng)(因?yàn)闆](méi)有閑余空間)

。總之這個(gè)學(xué)派否認(rèn)多樣化

，否認(rèn)運(yùn)動(dòng)變化

。

之所以費(fèi)這么多口舌介紹埃利亞學(xué)派的基本觀點(diǎn)，是因?yàn)榻裉煲榻B的芝諾悖論就是為維護(hù)這些觀點(diǎn)而提出的

。

據(jù)說(shuō)芝諾一共提出過(guò)四十多個(gè)悖論

，但最著名的是四個(gè)，而今天我們只選擇其中最耳熟能詳?shù)膬蓚€(gè)介紹給大家

。

其中一個(gè)叫“阿基琉斯追不上烏龜”

。阿基琉斯是古希臘非常著名的運(yùn)動(dòng)員

，擅長(zhǎng)跑步，而烏龜又是速度很慢的動(dòng)物

。如果讓阿基琉斯落后烏龜一百米

，然后追趕烏龜(假設(shè)烏龜?shù)乃俣仁?.1m/s,阿基琉斯比烏龜快100倍，是10m/s)

，會(huì)怎么樣呢?我們一定認(rèn)為這不費(fèi)吹灰之力

，阿基琉斯一定會(huì)很快追上。

但是

，芝諾認(rèn)為阿基琉斯永遠(yuǎn)追不上烏龜

，理由是：假如剛出發(fā)的時(shí)候，阿基琉斯在A點(diǎn)

，烏龜在B點(diǎn)

。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間之后他趕到了B點(diǎn)，而烏龜卻也往前走了一段——比如到達(dá)了C點(diǎn);阿基琉斯又從B點(diǎn)開始追

，等到趕到C點(diǎn)時(shí)

，烏龜又往前走了一段，到了D點(diǎn)……總之

，阿基琉斯每趕到烏龜之前的落腳點(diǎn)

，烏龜就已經(jīng)往前走了一段，雖然它們之間的距離永遠(yuǎn)在縮小

，但他永遠(yuǎn)追不上烏龜!

看到這里

，很多同學(xué)會(huì)馬上反駁說(shuō)：二者之間的距離在不斷縮小，就一定會(huì)在某個(gè)時(shí)刻縮小為零

，那個(gè)時(shí)候就趕上了呀?!但是我們注意

，這個(gè)思想實(shí)驗(yàn)之所以可怕，就在于它沒(méi)有設(shè)定二者距離為零的情況

，它們的差距可以被演繹到無(wú)限縮小

，但永遠(yuǎn)不能為零。因?yàn)闉觚斣诓煌５倪\(yùn)動(dòng)

，這意味著

，不管時(shí)間多短，烏龜都會(huì)離開阿基琉斯之前定下的的目標(biāo)往前移動(dòng)一點(diǎn)點(diǎn)!

是不是很抓狂?

還有更抓狂的——“飛矢不動(dòng)”

。我們都知道

，射出去的箭在飛行過(guò)程中是一直處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的。但是芝諾提醒我們

，如果把飛行的這段時(shí)間分成無(wú)數(shù)個(gè)瞬間

，我們發(fā)現(xiàn)這支箭在每個(gè)瞬間都有一個(gè)固定的位置——如果我們用攝像機(jī)拍下整段視頻，我們發(fā)現(xiàn)這段視頻可以分成無(wú)數(shù)幀

，而且每一幀中(也就是每一瞬間中)

，這支箭都是靜止不動(dòng)的

。既然箭在這個(gè)過(guò)程中的每一個(gè)瞬間都沒(méi)有動(dòng)，那么整段時(shí)間中

，這支箭也根本就沒(méi)動(dòng)!

有沒(méi)有覺(jué)得這兩個(gè)悖論很討厭?它們討厭在哪里呢?它們的討厭之處就在于用看似無(wú)懈可擊的邏輯理性演繹出了違背常識(shí)的結(jié)論

。這兩個(gè)違背常識(shí)的結(jié)論都是在否認(rèn)運(yùn)動(dòng)。這就是上文提到的

，在維護(hù)埃利亞學(xué)派的基本觀點(diǎn)

。

那么針對(duì)悖論，我們?cè)鯓硬拍芙o予專業(yè)

、痛快的反駁呢?

這個(gè)時(shí)候切忌輕率地用自己的思維自說(shuō)自話式的“解決”它

，比如對(duì)于“阿基琉斯悖論”，我們甚至可以計(jì)算出阿基琉斯可以在大約11秒左右趕上烏龜

，但這不能算是反駁了這個(gè)悖論

。芝諾本來(lái)是一位數(shù)學(xué)家

，更是一位正常人

，他肯定也知道阿基琉斯一定會(huì)追上烏龜，所以我們這么說(shuō)是白搭

。

那應(yīng)該怎么辦呢?面對(duì)悖論

，不能指出或者強(qiáng)調(diào)它的事實(shí)錯(cuò)誤，而是要跳到它的邏輯內(nèi)部理解它

，然后指出它的邏輯錯(cuò)誤

，并指出其是如何導(dǎo)致悖論的，說(shuō)明白這些就相當(dāng)于反駁了這個(gè)悖論

。

我們先來(lái)看“阿基琉斯悖論”是怎樣導(dǎo)致悲劇的：其實(shí)這個(gè)悖論模糊了一個(gè)概念——“無(wú)限”

。“無(wú)限”作為一個(gè)事物的屬性

，描述的到底是這個(gè)事物的什么呢?也就是說(shuō)

，當(dāng)我們說(shuō)一個(gè)事物是“無(wú)限”的時(shí)候，我們指的是什么意思?這個(gè)悖論中的所謂“無(wú)限”

，就是阿基琉斯在追上烏龜之前的這段空間距離(方便起見

，這段距離為A-Z)可以無(wú)限分割成無(wú)限小的距離段。阿基琉斯并不是在努力跑向那個(gè)Z點(diǎn)

，趕上烏龜

，而是在完成烏龜留下的一個(gè)又一個(gè)越來(lái)越短的但又無(wú)限多的距離段。因?yàn)檫@些距離段有無(wú)限個(gè)

，所以他永遠(yuǎn)也完成不了它們

。

如果說(shuō)有一段無(wú)限長(zhǎng)的、只有起點(diǎn)沒(méi)有終點(diǎn)的距離

，那么阿基琉斯就是跑得再快

，也是無(wú)法窮盡的

。但是這個(gè)悖論里的“無(wú)限”，指的是對(duì)一個(gè)定值(線段A-Z)的無(wú)限分割

，也就是說(shuō)A-Z這段距離雖然是無(wú)限可分的

，但是這些無(wú)限的部分加起來(lái)的總量卻是一個(gè)定值，總長(zhǎng)始終是A-Z

，即這是一種“有限”的“無(wú)限”

。換句話說(shuō)，阿基琉斯追烏龜這件事的無(wú)限

，只不過(guò)指的是在思維世界中(注意：是在思維世界中)

，他要完成的步驟是無(wú)限多的;而在現(xiàn)實(shí)世界中，他只需要11秒就能完成此事

。

再來(lái)看“飛矢不動(dòng)”悖論：其實(shí)這個(gè)悖論也模糊了一個(gè)概念——“瞬間”

。瞬間到底應(yīng)該是一個(gè)極短但卻有長(zhǎng)度的“時(shí)間段”——就像線段——呢?還是一個(gè)沒(méi)有長(zhǎng)度——就像點(diǎn)——的“時(shí)刻”呢?一支箭飛行的過(guò)程是一大段有長(zhǎng)度的時(shí)間段，所以它就算被分割的再細(xì)

，其組成部分也應(yīng)該是一段一段極小的時(shí)間段

，而不是像點(diǎn)一樣的“時(shí)刻”。時(shí)間段是運(yùn)動(dòng)發(fā)生的必要條件

，每一場(chǎng)運(yùn)動(dòng)都必定發(fā)生在一段時(shí)間中(不管它有多短)

。但在某一時(shí)刻中卻不能談運(yùn)動(dòng)，而只能談位置

。芝諾正是用“時(shí)刻”偷換了“瞬間”

。

就這樣，我們算是大致搞清楚了這兩個(gè)悖論如何發(fā)生的原因

，當(dāng)然也就反駁了它們

，他們的錯(cuò)誤在于概念的混淆，或邏輯形式的混亂

。

看到這里

，大家可能會(huì)產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題：歷史上這些哲學(xué)家們制造這些悖論到底有什么意義呢?畢竟連他們自己也不會(huì)相信這些悖論啊!但其實(shí)這些悖論對(duì)于鍛煉我們的思維，促進(jìn)思想的發(fā)展有很重要的意義

。就像頭疼腦熱的小病反而會(huì)鍛煉我們的抵抗力一樣

，芝諾悖論和很多其他邏輯學(xué)上有趣的悖論一次又一次地提醒哲學(xué)家和邏輯學(xué)家們?nèi)シ此甲约旱乃季S框架和習(xí)慣，人類就是在這種反思和檢討中戰(zhàn)勝無(wú)聊

、不斷進(jìn)步的

，你說(shuō)對(duì)吧?

芝諾悖論最后是怎么解決的
？

當(dāng)人類面對(duì)這深邃的宇宙開始思考一些問(wèn)題的時(shí)候,他們就已經(jīng)開始研究運(yùn)動(dòng)了,而運(yùn)動(dòng)的存在性問(wèn)題是其中最為重要

、也是最令人困惑的第一個(gè)問(wèn)題.
　　表面上看來(lái),運(yùn)動(dòng)的存在性是顯然的,然而芝諾卻最早以簡(jiǎn)單的論證“證明”了運(yùn)動(dòng)不可能存在,他也由于這一悖論式的證明而為后人所永遠(yuǎn)銘記.芝諾是古希臘時(shí)期愛(ài)利亞學(xué)派的主要成員,這個(gè)學(xué)派的基本思想是否認(rèn)現(xiàn)實(shí)世界中的任何運(yùn)動(dòng)變化,認(rèn)為它們只是真實(shí)存在的表面現(xiàn)象.芝諾為了證明他們的觀點(diǎn),第一個(gè)設(shè)想和論證了物體運(yùn)動(dòng)中存在的令人不安的困難.
　　芝諾的論證是這樣的：你若想追上烏龜,你必須首先到達(dá)烏龜開始跑的位置,但當(dāng)你到達(dá)烏龜開始跑的位置時(shí),烏龜在這段時(shí)間里已經(jīng)跑到前面去了,當(dāng)你再想去追烏龜時(shí),你面臨同樣的問(wèn)題,即你仍必須首先要跑到烏龜此刻的位置,而等你跑到了烏龜又向前移動(dòng)了.好,雖然你比烏龜跑得快,但你也只能按上述過(guò)程逐漸逼近烏龜,這樣的過(guò)程將無(wú)限次地出現(xiàn),而在每一階段烏龜總在你前頭.由于有限的你無(wú)法完成這無(wú)限個(gè)階段,于是你永遠(yuǎn)也追不上烏龜.
　　“但是,我絕對(duì)可以追上烏龜!”你可能忍不住要爭(zhēng)辯道.請(qǐng)別急,芝諾將進(jìn)一步論證你根本就無(wú)法開始運(yùn)動(dòng),更不用說(shuō)追上烏龜了.你看,如果你想到達(dá)烏龜開始跑的位置,你就必須首先到達(dá)這段距離的中點(diǎn),而你若想到達(dá)這個(gè)中點(diǎn),你又必須首先到達(dá)這一半距離的中點(diǎn),如此等等.由于這一二分過(guò)程可以無(wú)限地進(jìn)行下去,而你無(wú)法完成無(wú)限個(gè)過(guò)程,于是你實(shí)際上都無(wú)法離開起點(diǎn).
　　“但是,……”,你也許已陷入了沉思之中.是的,盡管芝諾的論證簡(jiǎn)單易懂,但是要找出其論證中的問(wèn)題卻并不容易.實(shí)際上,自從芝諾悖論提出以來(lái),人們一直試圖指出其中的錯(cuò)誤所在,然而直到今天,仍然沒(méi)有一個(gè)完全滿意的解答.
　　一般認(rèn)為,芝諾悖論由四個(gè)論證組成,它們是二分法、阿基里斯

、飛矢不動(dòng)和運(yùn)動(dòng)場(chǎng).
　　芝諾首先假定時(shí)間和空間是連續(xù)的2,即假定運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的.為了證明這種連續(xù)運(yùn)動(dòng)是不可能的,芝諾考察了兩種情況,它們是孤立物體的連續(xù)運(yùn)動(dòng)情況和兩個(gè)物體的相對(duì)連續(xù)運(yùn)動(dòng)情況.
　　對(duì)于孤立物體的連續(xù)運(yùn)動(dòng)情況,他提出了一種“二分法”證明.芝諾認(rèn)為,任何一個(gè)物體要想從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),必須首先到達(dá)AB的中點(diǎn)C,而要到達(dá)C點(diǎn),他又必須首先到達(dá)AC的中點(diǎn)D,同樣,要到達(dá)D點(diǎn),他又必須首先到達(dá)AD的中點(diǎn),等等.由于時(shí)間和空間是連續(xù)的,這一二分過(guò)程總可以無(wú)限地進(jìn)行下去,于是該物體實(shí)際上都無(wú)法離開A點(diǎn),因此孤立物體的連續(xù)運(yùn)動(dòng)是不可能的.
　　對(duì)于兩個(gè)物體的相對(duì)連續(xù)運(yùn)動(dòng)情況,芝諾提出了一個(gè)稱為“阿基里斯”的證明.他說(shuō),阿基里斯若想追上烏龜,他必須首先到達(dá)烏龜開始跑的位置,但當(dāng)他到達(dá)烏龜開始跑的位置時(shí),烏龜在這段時(shí)間里已經(jīng)跑到前面去了,當(dāng)阿基里斯再想去追烏龜時(shí),他面臨同樣的問(wèn)題,即他仍必須首先要跑到烏龜此刻的位置,而等他跑到了烏龜又向前移動(dòng)了.雖然阿基里斯比烏龜跑得快,但他也只能按上述過(guò)程逐漸逼近烏龜,這樣的過(guò)程可以無(wú)限次地出現(xiàn),在每一階段烏龜總在他前頭.由于阿基里斯無(wú)法完成這無(wú)限個(gè)階段,于是他永遠(yuǎn)也追不上烏龜,從而兩個(gè)物體的相對(duì)連續(xù)運(yùn)動(dòng)也是不可能的.
　　其次,芝諾假定時(shí)間和空間是分立的,即假定運(yùn)動(dòng)是間斷的.為了證明這種間斷運(yùn)動(dòng)也是不可能的,芝諾同樣考察了兩種情況,即孤立物體的間斷運(yùn)動(dòng)情況和兩個(gè)物體的相對(duì)間斷運(yùn)動(dòng)情況.
　　對(duì)于孤立物體的間斷運(yùn)動(dòng)情況,他提出了“飛矢不動(dòng)”論證3.芝諾說(shuō),由于運(yùn)動(dòng)是位置的變動(dòng),而飛矢在任何一個(gè)時(shí)間單元（或時(shí)刻）都呆在一個(gè)位置上,即在任何時(shí)間單元（或時(shí)刻）它的位置都沒(méi)有變化,于是任何一個(gè)時(shí)間單元（或時(shí)刻）的飛矢是不動(dòng)的,因此飛矢是不動(dòng)的.
　　對(duì)于兩個(gè)物體的相對(duì)間斷運(yùn)動(dòng)情況,芝諾提出了“運(yùn)動(dòng)場(chǎng)”論證.他假設(shè)有A

、B

、C三列物體,物體B、C相對(duì)于A的運(yùn)動(dòng)方向相反,并且每一時(shí)間單元物體B

、C相對(duì)于A都運(yùn)動(dòng)一個(gè)空間單元.于是,在一個(gè)時(shí)間單元過(guò)后物體B

、C之間相對(duì)移動(dòng)了兩個(gè)空間單元,從而物體B相對(duì)于C移動(dòng)一個(gè)空間單元需要半個(gè)時(shí)間單元,而物體B相對(duì)于A移動(dòng)一個(gè)空間單元卻需要一個(gè)時(shí)間單元,于是一個(gè)時(shí)間單元將等于半個(gè)時(shí)間單元.這一結(jié)論明顯是不成立的,因此兩個(gè)物體的相對(duì)間斷運(yùn)動(dòng)也是不可能的.
　　是的,芝諾的結(jié)論顯然是不對(duì)的,每個(gè)清醒的人都知道.然而,他的論證卻并不一定就是錯(cuò)誤的,為什么呢?因?yàn)樗窃谝欢僭O(shè)的前提下證明你追不上烏龜?shù)?而這些假設(shè)不一定都正確.芝諾的假設(shè)包括：時(shí)間和空間是連續(xù)的,運(yùn)動(dòng)也是連續(xù)的.盡管這些假設(shè)看起來(lái)似乎是顯然的,但是現(xiàn)代科學(xué)卻已經(jīng)暗示了它們很可能并不是正確的.因此,如果芝諾的論證沒(méi)有問(wèn)題,那么2000多年前的他就已經(jīng)證明了時(shí)間、空間和運(yùn)動(dòng)不可能都是連續(xù)的.這是一個(gè)驚人的結(jié)論,它完全違背我們的常識(shí),但芝諾成功了嗎?讓我們?cè)賮?lái)看一看他的具體論證.
　　可以看出,芝諾論證的關(guān)鍵在于他認(rèn)為物體無(wú)法經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)或區(qū)間而在連續(xù)時(shí)空中完成運(yùn)動(dòng),但是他的根據(jù)呢?仔細(xì)檢查后你會(huì)發(fā)現(xiàn),沒(méi)有!難道這是一條十分明顯的

、不需要進(jìn)一步說(shuō)明的公理嗎?或許初看起來(lái)我們也會(huì)認(rèn)為物體無(wú)法經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)或區(qū)間,但喜歡刨根問(wèn)底的人還是想問(wèn)問(wèn)芝諾這是為什么.當(dāng)然,芝諾是無(wú)法回答了,那就讓我們來(lái)分析一下這個(gè)看法是否正確吧.
　　首先,我們必須弄清“完成”的含義.所謂“完成”是指過(guò)程的發(fā)生只需要有限的時(shí)間,它本質(zhì)上是以時(shí)間概念為基礎(chǔ)的.于是,問(wèn)題成為：物體是否能夠在有限時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)空間中的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)或區(qū)間?根據(jù)時(shí)間和空間的連續(xù)性假設(shè),有限的空間含有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)或區(qū)間,而有限的時(shí)間同樣含有無(wú)窮多個(gè)時(shí)刻或時(shí)間區(qū)間,并且它們可以形成一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此,原則上物體可以利用有限時(shí)間內(nèi)的無(wú)窮多個(gè)時(shí)刻或時(shí)間區(qū)間來(lái)通過(guò)有限空間中的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)或區(qū)間,從而物體便可以自然地在有限時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)空間中的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)或區(qū)間了.于是,物體是可以（在連續(xù)時(shí)空中）經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)或區(qū)間而完成運(yùn)動(dòng)的.看來(lái),芝諾所依據(jù)的似乎明顯正確的看法其實(shí)是錯(cuò)誤的,他在強(qiáng)調(diào)空間連續(xù)性的同時(shí)卻忽略了時(shí)間的連續(xù)性.
　　然而,為什么我們總有一種感覺(jué),認(rèn)為物體無(wú)法經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)或區(qū)間呢?這個(gè)問(wèn)題很重要,因?yàn)橹ブZ也許正是利用了這種感覺(jué)才讓人們?yōu)樗恼撟C所迷惑.為此,讓我們回憶一下我們通常是如何來(lái)理解無(wú)窮的完成過(guò)程的.你會(huì)注意到,我們?cè)诶斫鉄o(wú)窮的完成時(shí),總是不知不覺(jué)地要從心理上去追蹤它的完成,如追蹤物體經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)或區(qū)間.然而,由于我們追蹤物體經(jīng)過(guò)任何一個(gè)點(diǎn)或區(qū)間都需要有限的時(shí)間,從而我們便無(wú)法追蹤物體經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)或區(qū)間,因?yàn)槲覀兊淖粉檶⑿枰獰o(wú)窮長(zhǎng)的時(shí)間!但是,這并不妨礙物體自己經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)或區(qū)間,畢竟,我們沒(méi)有理由認(rèn)為無(wú)法通過(guò)意識(shí)追蹤的過(guò)程實(shí)際上也無(wú)法完成.　找到了困惑的根源,你一定有一種如釋負(fù)重的感覺(jué)吧,看來(lái)理解運(yùn)動(dòng)問(wèn)題其實(shí)并不難.是的,有時(shí)你離答案僅一步之遙,而跨過(guò)去你的思想就會(huì)海闊天空,關(guān)鍵在于你是否愿意多花一點(diǎn)時(shí)間來(lái)思考了.理解總是令人愉悅的!而理解之前的困惑同樣是一種妙不可言的經(jīng)歷,它會(huì)幫助你真正認(rèn)識(shí)自己,并讓你成為一個(gè)有理性的

、智慧的人.
　　現(xiàn)在,你一定確信并理解自己可以追上烏龜了,衷心地祝賀你.